[MegaSpam]Make Reply to see topic! xD

[xXSkillerXx]

OMG stop spamming naaaaaaaaaaab

spam for my life....

xmmm spam spam spam kai pali spam

NOOB botz lol.

[Billistain]

Πώς τολμάς και μου κάνεις μαθήματα δημοκρατίας, σε ρωτάω πώς τολμάς?

[™StarЯdoм®]

1x1=1 1x2=2 1x3=3 1x4=4 1x5=5 1x6=6 1x7=7 1x8=8 1x9=9 1x10=10

 

Free Lessons *

[OmGG]

[GR]Eiste thees

 

[en]You are psinakis

[xXSkillerXx]

Eiste thees

Γλυκιαααα...

[DāЯқŜiĐє]

Ἐν ἔτει τετάρτῳ καὶ δισχιλιοστῷ ἡ τῶν Ἑλλήνων χώρα ψηφοφορεῖ τέ και ψηφοθηρεῖ.

 

Οἱ πολῖται οὐδόλως καὶ οὐδαμῶς διαφέρονται περὶ τῆς ἐν Πρυτανείῳ δωρεάν σιτίσεως, περὶ αὐξήσεως τῶν θεωρικῶν δικαιωμάτων, οὒ τε περὶ τοῦ συνεκκλησιασμοῦ καὶ τῆς καθημερινῆς μεταγωγῆς αὐτίκα ἁλιευθέντων ἰχθύων καὶ ἄρτι κεκομμένων λαχάνων πέρι.

 

Οὐχί, φιλαναγνῶσται! Μέταλλον ἓν διαφέρει ἅπαντας, σχολαστικῶς οὐ μέταλλον ἄλλ' ἄνθος:

[OmGG]

Ἐν ἔτει τετάρτῳ καὶ δισχιλιοστῷ ἡ τῶν Ἑλλήνων χώρα ψηφοφορεῖ τέ και ψηφοθηρεῖ.

 

Οἱ πολῖται οὐδόλως καὶ οὐδαμῶς διαφέρονται περὶ τῆς ἐν Πρυτανείῳ δωρεάν σιτίσεως, περὶ αὐξήσεως τῶν θεωρικῶν δικαιωμάτων, οὒ τε περὶ τοῦ συνεκκλησιασμοῦ καὶ τῆς καθημερινῆς μεταγωγῆς αὐτίκα ἁλιευθέντων ἰχθύων καὶ ἄρτι κεκομμένων λαχάνων πέρι.

 

Οὐχί, φιλαναγνῶσται! Μέταλλον ἓν διαφέρει ἅπαντας, σχολαστικῶς οὐ μέταλλον ἄλλ' ἄνθος:

Ase re liakopoule

[DāЯқŜiĐє]

[(-1)^n]*3*[(n!)]/(x+1)^(n+1)

 

[xXSkillerXx]

[(-1)^n]*3*[(n!)]/(x+1)^(n+1)

 

Νιοστή μαλακια... =D

[¤FunkyCobra¤]

Damn all spammers noobs !!!

Im spammer too!

[DāЯқŜiĐє]

:P

Ορισμός Συμμετρικού σχήματος ως προς το κέντρο

 

[xXSkillerXx]

:P

Ορισμός Συμμετρικού σχήματος ως προς το κέντρο

 

 

1η Λυκειου? ;o

[DāЯқŜiĐє]

Μιγαδικός αριθμός ονομάζεται ο αριθμός z=x+yi με x,y πραγματικοί αριθμοί και i η φανταστική μονάδα. Το x είναι το πραγματικό μέρος Re(z)=x  ενώ το y είναι το φανταστικό Im(z)=y.

[DāЯқŜiĐє]

Twra 8a sas g@misw me askiseis:

 

[DāЯқŜiĐє]

 

Προτεινόμενα Θέματα

Να μελετηθεί και να προσεχθεί ιδιαίτερα.

Φθάνοντας στις εξετάσεις θα πρέπει να επαναφέρουμε στη μνήμη μας βασικές

έννοιες από όσα θα εξετασθούμε.

Έφτιαξα λοιπόν και σας στέλνω ασκησοειδείς ερωτήσεις κρίσεως, μέσω της

ανάλυσης των οποίων θα κάνουμε επανάληψη στις βασικές γνώσεις.

Με τις ευχές μου για τη καλύτερη δυνατή σας επιτυχία ας δούμε τα ερωτήματα,

την ανάλυσή τους και τελικά την απάντηση.

Σχόλιο: Τέτοιου είδους ερωτήσεις σωστού – λάθους δεν θα αντιμετωπίσουμε στις εξετάσεις

Έλεγχος των γνώσεών μας με ερωτήσεις κρίσεως Σ - Λ

Από τις ακόλουθες προτάσεις άλλες είναι σωστές και άλλες λάθος. Απαντήστε και

εξηγήστε την όποια απάντησή σας ώστε να ελεγχθούν οι γνώσεις σας.

Πρόταση 1

Μια συνάρτηση f είναι κυρτή σε καθένα από τα διαστήματα [α,β] και [β, γ].

1. Η f είναι συνεχής στο διάστημα [α, γ] .

Σ – Λ

2. Η f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα (α, γ ) .

Σ – Λ

3. Η f είναι κυρτή στο διάστημα [α, γ] .

Σ – Λ

Ανάλυση δεδομένων

• f κυρτή στο [α,β], άρα, συνεχής στο [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β) και f ′

γνήσια αύξουσα στο [α,β],

• g κυρτή στο [β,γ], άρα, συνεχής στο [β,γ], παραγωγίσιμη στο (α,γ) και f ′

γνήσια αύξουσα στο [β,γ], οπότε:

αφού f συνεχής στο [α,β] και [β,γ] έχουμε

x x

im f ( ) im f ( )

→β− →β+

ℓ = β = ℓ = β , οπότε f

συνεχής στο [α,γ].

αφού f παραγωγίσιμη στο (α,β) και (β,γ) δεν γνωρίζουμε αν είναι

παραγωγίσιμη στο β.

Απάντηση

1 Σ, 2 Λ, 3 Λ

Πρόταση 2

Αν 1 z = 3 και z2 = 4 + 3i τότε η μεγαλύτερη τιμή του 1 2 z + z είναι 10.

Σ – Λ

 

Ανάλυση δεδομένων

• 2 2

z2 = 4 + 3 = 5

• τριγωνική ανισότητα 1 2 1 2 z + z ≤ z + z ≤ ... ≤ 8

Απάντηση

Λ

Πρόταση 3

Αν μια συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο [α,β] με συνεχή δεύτερη

παράγωγο και υπάρχει 0 x ∈(α,β) τέτοιο ώστε 0 f ′(x ) = 0 και 0 f ′′(x ) > 0 , τότε το

0 f (x ) είναι τοπικό ελάχιστο της f.

Ανάλυση δεδομένων

• Αφού η συνάρτηση 0 f ′′(x ) > 0 και η συνάρτηση f ′′ είναι συνεχής

συμπεραίνουμε ότι υπάρχει περιοχή κοντά στο 0 x , για κάθε x της οποίας να

ισχύει 0 f ′′(x ) > 0 .

•

Απάντηση

Σ

Πρόταση 4

Αν η συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο R και ισχύει:

( )f ′(x) 3 + f ′(x) = ex + x3 , x∈R , τότε η f C έχει σημείο καμπής.

Σ – Λ

Ανάλυση δεδομένων

• Παραγωγίζοντας και τα δυο μέλη έχουμε:

( ) ( ) 3 f ′(x) 2 ⋅ f ′′(x) + f ′′(x) = ex + 3x2 ⇒f ′′(x) 3 f ′(x) 2 +1 = ex + 3x2 ⇒  

( )

x 2

2

e 3x

f (x) 0

3 f (x) 1

+

′′ = >

′ +

Απάντηση

Λ

Πρόταση 5

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f ορισμένη στο διάστημα [α,β]. Αν η

συνάρτηση f ′ είναι συνεχής στο [α,β], είναι σωστό ή λάθος ότι υπάρχουν

0 x − δ x0 0 x + δ

f ′′ + +

f ′ γνήσια αύξουσα γνήσια αύξουσα

Πρόσημο f ′ - +

f γνήσια φθίνουσα γνήσια αύξουσα

0

min 0 y = f (x )

 

x1 ,x2 ∈[α,β] με ( ) ( ) 1 2 f ′ x ≤ f ′ x ώστε να ισχύει ( ) ( ) 1 2

f ( ) f ( )

f x f x

β − α

′ ≤ ≤ ′

β − α

.

Σ – Λ

Ανάλυση δεδομένων

• Αφού η συνάρτηση f ′ είναι συνεχής στο [α,β] έχει μέγιστη και ελάχιστη

τιμή, δηλαδή υπάρχουν [ ] 1 2 x ,x ∈ α,β με ( ) min 1 y = f ′ x και ( ) max 2 y = f ′ x ,

ώστε να ισχύει ( ) min max y ≤ f ′ x ≤ y για κάθε x∈[α,β] .

• Για τη συνάρτηση f στο διάστημα [α,β] ισχύουν οι προϋποθέσεις του

Θ.Μ.Τ, άρα υπάρχει ξOEOEOEOE(α,β) ώστε ( ) f ( ) f ( )

f

β − α

′ ξ =

β − α

Απάντηση

Σ

Πρόταση 6

Το πεδίο ορισμού της

ln(5 x)

2

f (x) tdt

−

= ∫ είναι το A = (−∞,4] .

Σ - Λ

Ανάλυση δεδομένων

• Η συνάρτηση g(t) = t , είναι συνεχής στο [ ) g A = 0,+∞ .

Αφού λοιπόν η συνάρτηση g είναι συνεχής στο [ ) g A = 0,+∞ , η συνάρτηση f

είναι καλά ορισμένη όταν:

2∈[0,+∞) , ln(5 − x)∈[0,+∞) και 5 − x > 0 , δηλαδή όταν

ln(5 − x) ≥ 0⇒ln(5 − x) ≥ ln1⇒... και x < 5

Απάντηση

Σ

Πρόταση 7

Αν g παραγωγίσιμη συνάρτηση στο — και για τη συνάρτηση f ισχύουν οι σχέσεις:

g(x)

f (x)

x 3

=

−

και f ′(x) = 0 για κάθε x που ορίζεται η f, τότε ισχύει f (x) = c .

Σ - Λ

Ανάλυση δεδομένων

• Η συνάρτηση

g(x)

f (x)

x 3

=

−

, είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο

( ) ( ) f A = −∞,3 ∪ 3,+∞ , άρα έχουμε:

f ′(x) = 0 για κάθε x∈(−∞, 3) , άρα 1 f (x) = c για x < 3 και

f ′(x) = 0 για κάθε x∈(3,+∞) , άρα 2 f (x) = c για x > 3 .

Απάντηση

Λ

Πρόταση 8

Αν για τη συνεχή συνάρτηση f, ισχύει για κάθε x∈— ότι

x

x

f (t)dt 0

−

∫ = τότε η

 

συνάρτηση f είναι περιττή.

Σ - Λ

Ανάλυση δεδομένων

• Αφού η συνάρτηση f είναι συνεχής, έχει αρχική, έστω λοιπόν G(x) μια

αρχική της f οπότε ισχύει G′(x) = f (x) .

• Είναι

x

x

f (t)dt G(x) G( x)

−

∫ = − − και επειδή

x

x

f (t)dt 0

−

∫ = , έχουμε

G(x) −G(−x) = 0⇒G(x) = G(−x) .

• Παραγωγίζοντας έχουμε:

(G(x))′ = (G(−x))′ ⇒G′(x) = G′(−x) ⋅ (−x)′⇒G′(x) = −G′(−x)⇒

f (x) = −f (−x)

Απάντηση

Σ

Πρόταση 9

Αν είναι ln z + e2 = 1+ ln z + 1 , τότε z = e . Σ – Λ

Ανάλυση δεδομένων

• ln z + e2 = 1+ ln z +1 ⇒ln z + e2 = lne + ln z +1 ⇒

( ) ln z e2 ln e z 1 z e2 e z 1 z e2 2 e2 z 1 2 + = ⋅ + ⇒ + = ⋅ + ⇒ + = ⋅ + ⇒

( ) ( ) ( ) ( ) z + e2 z + e2 = e2 ⋅ z + 1 z + 1 ⇒...⇒ z 2 = e2… Απάντηση

Σ

Πρόταση 10

Αν για την παραγωγίσιμη συνάρτηση f ισχύει ότι

1

f (x)

x

′ = , με x ≠ 0 τότε

f (x) = ln x + c . Σ – Λ

Ανάλυση δεδομένων

• Αν μια συνάρτηση g ορίζεται σε διάστημα /, γνωρίζουμε ότι μια

συνάρτηση f καλείται αρχική της g στο διάστημα /, όταν ισχύει

f ′(x) = g(x) για κάθε x∈ .

• Επειδή έχουμε

1

f (x)

x

′ = , x ≠ 0 , καταλαβαίνουμε ότι η συνάρτηση f είναι

αρχική της g, αλλά η αρχική ορίζεται σε διάστημα, οπότε έχουμε:

- ( ) 1 f (x) = ln −x + c , για x∈(−∞,0) , 1 c ∈ ℝ

- 2 f (x) = ln x + c , για x∈(0,+∞) , 2 c ∈ℝ . Απάντηση

Λ

Πρόταση 11

Αν f,g δυο παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο ℝ για τις οποίες ισχύει

f ′(x) ⋅g(x) ≠ f (x) ⋅g′(x) για κάθε x∈ℝ , είναι σωστό ή λάθος ότι μεταξύ δυο ριζών

της f υπάρχει τουλάχιστον μια ρίζα της g; Σ – Λ

Ανάλυση δεδομένων

• Αν μεταξύ των ριζών α,β της f με α<β δεν υπάρχει ρίζα της g, δηλαδή

ισχύει g(x) ≠ 0 για κάθε x∈[α,β] , τότε θεωρώντας τη συνάρτηση

 

f (x)

h(x)

g(x)

= , x∈[α,β] θα είχαμε:

h: συνεχής στο [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β) με h(α) = h(β) , επομένως θα

ίσχυε το θεώρημα Rolle, οπότε θα υπήρχε ξ∈(α,β) με h′(ξ) = 0 , συνεπώς

… f ′(ξ) ⋅g(ξ) = f (ξ) ⋅g′(ξ) , … Απάντηση

Σ

Πρόταση 12

Είναι (α + βi)10 + (β − αi)10 = 0 .

Σ – Λ

Ανάλυση δεδομένων

• iν = i4ρ+υ = iυ , 0 ≤ ρ < 4 , υ: το υπόλοιπο της διαίρεσης του ν δια του 4

• ( )(α + βi)10 + (−i2β − αi)10 = (α + βi)10 + (−i)(iβ + α) 10 =

(α + βi)10 + (−i)10 (α + βi)10 = (α + βi)10 + (−i)2 (α + βi)10 ...

Απάντηση

Σ

Πρόταση 13

Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι παραγωγίσιμη στο — και για την οποία

ισχύει ότι f (x) ⋅ f ′(x) = 0 για κάθε x∈—. Τότε η συνάρτηση f είναι σταθερή.

Σ – Λ

Ανάλυση δεδομένων

• Προσοχή, όταν g(x) ⋅h(x) = 0 , δεν συνεπάγεται κατ’ ανάγκη f (x) = 0 ή

g(x) = 0 .

• f (x) ⋅ f ′(x) = 0⇒2⋅ f (x) ⋅ f ′(x) = 0⇒(f 2 (x))′ = 0⇒f 2 (x) = c⇒...

Απάντηση

Σ

Πρόταση 14

Αν f (x) > 0 και f συνεχής στο — τότε ισχύει ότι

1

ln

2

1

f (x)dx 0

−

∫ > .

Σ – Λ

Ανάλυση δεδομένων

• Προσοχή, αν f (x) > 0 και α<β τότε f (x)dx 0

β

α

∫ > , ενώ αν α>β τότε

f (x)dx 0

β

α

∫ < .

• ( ) 1

ln ln1 ln 2 ln 2

2

− = − − = και επειδή η συνάρτηση y=lnx είναι γνήσια

αύξουσα και 2 < e⇒...

Απάντηση

Λ

 

Πρόταση 15

Αν z =

ν

2 i 5

3

 + 

 

 

, ν ∈Õ, τότε z = 2 . Σ – Λ

Ανάλυση δεδομένων

•

2 i 5 2 5 4 5

i 1

3 3 3 9 9

+

= + = + = ,

•

2 i 5

z ...

3

ν

+

= =

Απάντηση

Λ

Πρόταση 16

Αν για μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f ισχύει f (x) + f ′(x) = 0 , τότε f (x) = c ⋅e−x .

Σ – Λ

Ανάλυση δεδομένων

• Η διαφορική εξίσωση f ′(x) + A(x)f (x) = 0 , λύνεται πολλαπλασιάζοντας και

τα μέλη με το eg(x) , όπου g(x) η αρχική της Α(x), δηλαδή για τη g(x) ισχύει

g′(x) = f (x) , οπότε καταλήγουμε στην (f (x) ⋅eg(x) )′ = 0 .

Απάντηση

Σ

Πρόταση 17

Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης

x

2

1

f (x) dt

t

= ∫ είναι το (−∞,0)∪(0,+∞) .

Σ – Λ

Ανάλυση δεδομένων

• Η συνάρτηση

1

g(t)

t

= είναι συνεχής και ορίζεται στο (−∞,0)∪(0,+∞) .

Η συνάρτηση f λοιπόν είναι καλά ορισμένη και είναι μια αρχική της g. Σαν

αρχική λοιπόν ορίζεται σε διάστημα, και μάλιστα στο διάστημα σε εκείνο

το διάστημα του πεδίου ορισμού της g στο οποίο ανήκουν ταυτόχρονα τo

κάτω και το άνω άκρο ολοκλήρωσης, άρα …

Απάντηση

Λ